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思维数学 | 二阶等差数列求和

诺哈网2023-08-15 16:25:430

当两个公差相同的两个等差数列对应项相乘得到二阶等差数列求和,可以分组进行左邻右舍裂差法。得到的结果是(尾×后延-前伸×首)÷(3×公差)。这里除数是公差的3倍,同时注意每项的左邻右舍不一定是“紧挨着的”,它与原数的差等于题目的公差。

例1:计算1×2 2×3 3×4 4×5 ...... 99×100

等差数列一:1,2,3,4,5,....99

等差数列二:2,3,4,5,6,.....100

使用左邻右舍裂差法:

因为

1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3

2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3

3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3

........

99×100=(99×100×101-98×99×100)÷3

所以

原式=(1×2×3-0×1×2 2×3×4-1×2×3 3×4×5-2×3×4 ........ 99×100×101-98×99×100)÷3

=99×100×101÷3

=333300

例2:计算1×3 2×4 3×5 4×6 ...... 44×46

等差数列一:1,2,3,4,5,....44

等差数列二:3,4,5,6,7,.....46

使用左邻右舍裂差法:

因为

1×3=(1×3×5-(-1)×1×3)÷(3×2)

2×4=(2×4×6-0×2×4)÷(3×2)

3×5=(3×5×7-1×3×5)÷(3×2)

........

44×46=(44×46×48-42×44×46)÷(3×2)

所以

原式=(1×3 3×5 ...43×45) (2×4 4×6 ...44×46)

=(43×45×47-(-1)×1×3)÷(3×2) (44×46×48-0×2×4)÷(3×2)

=31350

备注:

裂差公式:n×(n 1)={n×(n 1)×(n 2)-(n-1)×n×(n 1)}÷3

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