正方形中的简易探究，折叠探路，最值结尾

如图1，已知正方形ABCD的边长为3，E为AB上一点，把△ADE沿直线DE对折后，点A落在点F处

(1)当AE=1时，如图2，正方形的对角线AC与DE相交于点M，与正方形另一条对角线BD相交于点O，连接OF并延长交AB于点G

①求

的值，并说明点M是OA的中点；②试探究OG与DE有怎样的位置关系，并说明理由；③求线段GF的长；

(2)如图3，点G是线段DF上的一点，且DG=1，连接BF、CG，则在点E从点A运动到点B的过程中，BF CG的最小值为_________,此时BF的长为_________.

解：(1)

，由AE||CD易知

，即有

，得OA=2OM，故M为OA的中点；

OG||DE，连接AF交DE于点H，易知AF⊥DE且H为AF的中点，而M为OA的中点，故HM||OF，即有OG||DE；

在ADE中，由射影定理可知EH·ED=EA2，得EH=

得GF=

(2) 在CD上取一点N，使DN=DG=1,易知△DFN△≌DGC，GC=FN，BF CG=BF NF，当B、F、N共线时，取最小值，最小值为

点评：题目整体难度不大，第一问中的辅助线会比较关键；而第二问的线段最值，则主要考虑构造全等转化线段.

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