一题多解 | 特殊角辅助线构造方法

如下图所示，A（0,6），B（a,3）且a＞0，P在x轴上，其中∠PAB=45°，∠PBA=30°，求a的值。

解法1：看到45°，30°特殊角，直接构造垂线

①PC⊥AB，得到两个特殊角三角形

②构造一线三垂直全等，得到△AEC≅△CDP

③构造一线三垂直相似，得到△BFC∼△CDP

④计算求出m的值、a的值（计算的时候注意整体思想）

解法2：以45°构造等腰直角三角形

①构造等腰直角三角形ABC

②构造一线三垂直全等，△AEB≅△BDC

③解△ABP，得到AQ:QB=1:√3，从而得到AP:PC=1:√3

④△AOP∼△AGC，求得a的值；

解法3：四点共圆＋相似

①特殊角构造直角三角形，PD⊥AB

②A、O、P、D四点共圆，同弦所对的圆周角相等，所以∠DOP=∠DAP=45°；

③构造等腰直角△OEF；

④△ADO∼△BDE

⑤从而求出a的值；

解法4：三点共圆的的巧妙运用

①以A、P、B三点构圆

②结合上图，A、P、C、B四点共圆；所以：

∠ABP=∠ACP=30°；（同弧所对圆周角相等）

∠BCD=∠PAB=45°；（对角互补、邻补角互补）

③解三角形，很容易算出OC=√3AO=6√3；CD=BD=3；

④所以a=6√3 3